si je n’ai pas trouvé ce que je cherchais le jour où j’ai mis au point mes grilles.

Qu’est-ce que je cherchais ? Comme MENDELEÏEV lorsqu’il a mis au point la Classification Périodique des éléments et prévu l’existence d’éléments dont les corps simples n’avaient pas été isolés de son vivant, comme le savant naturaliste qui a classé les espèces et lancé l’hypothèse d’un chaînon manquant dans l’évolution vers l’homo sapiens, je cherchais un moyen de classer les modèles de bracelets brésiliens (j’en avais alors une centaine) en espérant que celà me permettrait de ne pas faire de doublons et peut-être de prévoir d’autres modèles.

Et j’ai demandé celà aux Mathématiques parce qu’elles me sont un outil naturel, vu ma formation. Et que j’ai lu quelque part (mais où ?) qu’elles avaient "expliqué" les bracelets brésiliens, sans pouvoir trouver ladite explication sur le Web, même en Anglais, même dans des textes dont le niveau me dépasse actuellement.

Une remarque : les pages de WIKIPÉDIA sur lesquelles j’arrive en ce moment en rebondissant sur des mots écrits par ELYTIS sont en demande de mise à jour.

Bref, je voulais simplifier et je me demande si je ne suis pas en train de compliquer.

Rappel : Pour connaître un nœud N1, il faut et il suffit

• savoir 3 couleurs, celles des deux fils participant au nœud et celle du nœud
• savoir 1 colonne, celle dans laquelle se trouve le nœud
• savoir 1 rangée, celle dans lequel se trouve le nœud (le réseau dual de celui que font les rectangles de la grille étant composé de losanges)

Généralisation : Pour connaître un nœud Nn, que faut-il connaître ? il faut et il suffit

• savoir le nombre de fils porteurs, n € N
• savoir la nature du nœud, il y en a [4 classiques, 4 Joséphine] à 1 fil porteur, donc 8n possibilités en tout
• savoir n + 2 couleurs, celles des n + 1 fils participant au nœud et celle du nœud, C+1 possibilités, C étant le nombre de colonnes de bb
• savoir sa position dans le bb, soit 1 colonne, c € [1 , C = nombre total de fils – 1] dans N et 1 rangée, celle dans lequel se trouve le nœud (le réseau dual de celui que font les rectangles de la grille étant composé de losanges dans le cas classique et de rectangles dans le cas du macramé CAVENDOLI inversé) donc, on avance respectivement par 1/2 nœuds ou par nœuds entiers dans la limite du motif élémentaire. r € N

1° Conclusion : Ce qui fait n + 6 dimensions dans le cas le plus général, chaque dimension étant caractérisée par un nombre entier naturel.

2° Conclusion : Si géométrie il y a, elle n’est plus EUCLIDIENNE mais selon KLEIN.

3° Conclusion : Il y a moyen de représenter lesdits nœuds en s’inspirant de la représentation de l’appareil photographique.

Mais quel est l’intérêt d’un nœud tout seul ?

Le chevron dentelle (n est pair)

principe : [3 nœuds dedans-dedans à partir du bord, le 3°vient se placer sur le 3° du rang précédent dans la colonne centrale qui est donc continue] à faire alternativement de chaque côté.              

Le chevron dentelle (n est impair)

principe : le fil qui n’apparaît pas est de couleur différente du motif et matérialise l’axe de symétrie de l’ouvrage, du moins au début ; avec deux couleurs de fils, on place tous ceux d’une couleur à droite de cet "axe" et tous ceux de l’autre couleur à gauche. Et on procède de la même manière que précédemment : 1° fil de droite, nœud sur l’"axe", 1° fil de gauche, nœud sur le premier fil noué, nœud sur l’"axe – et ainsi de suite…

à 4+1 fils :                

à 6+1 fils :                      

à 8+1 fils :                           

interprétation : avec un nombre de fils impair, il fallait s’attendre à ce qu’il n’y ait pas d’axe de symétrie puisque le nombre total de colonne est alors pair.

  C’était la dernière fiche qui me restait "d’avant" et elle n’était pas de Physique ni de Chimie. 

Transition :

"Je sais ce que je fus, je sais ce que je suis,

Je veux ce que je dois, je fais ce que je puis." BOUSCAL, La mort de Cléomène

Maintenant, un mot m’a intriguée, que je ne connaissais pas et qui avait provoqué une drôle de réaction. J’ai donc entré "manifold" dans le moteur de recherche de WIKIPEDIA en français, me doutant bien qu’il ne s’agissait pas des carnets à copies multiples que j’ai découverts lors de mon bref passage en secrétariat, et il m’est sorti une chouette page de géométrie : http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_(g%C3%A9om%C3%A9trie)

où je n’ai pas trouvé HILBERT mais RIEMANN et d’autres que je connaissais, avec des exemples concrets, réels en langage courant, de représentations par "cartes"…

En parlant de représentation dans un espace à plus de deux (et trois) dimensions, voici celle de mon nouvel appareil-photo : 6 dimensions si je ne m’abuse.

Les motifs élémentaires sont le carré troué et le chevron >.

Les couleurs permutent exactement de la même façon que si j’avais fait seulement des chevrons >.

Dans la théorie des tresses, si je me souviens bien, il y a trois "mouvements" des fils deux à deux qui font que la tresse reste la même. Il y a peut-être là quelque chose à creuser. Mais ici les fils forment deux à deux des "nœuds-du-langage-courant". Est-ce que les nœuds N1 sont "équivalents" aux mouvements de deux fils dans une simple "tresse-du langage courant" ? Est-ce que je me pose une bonne question alors que je ne sais même pas dans quel espace je pense ?

L’assertion "les motifs élémentaires [chevron > & carré troué] et [chevron>] sont équivalents du point de vue de l’évolution de l’ordre des fils" est vraie.

  Paradoxal ! Voici côte à côte les photographies à la même échelle et les grilles des modèles 06-permutation-1 et 06-permutation-2 à la même échelle aussi.             

Roger BACON aurait aimé ! http://fr.wikipedia.org/wiki/Roger_Bacon

Observation : les points de rebroussement dans le premier modèle sont des points de bracelet brésilien, nœuds successifs décalés d’un demi-nœud, réseau dual du réseau de nœuds à base de losanges et dans le deuxième modèle un point de macramé CAVENDOLI inversé, nœuds successifs alignés, réseau dual du réseau de nœuds à base de rectangles (identique au réseau de nœuds).

De même, je ne crois pas que les mathématiques puissent rendre compte des effets de voisinage observés sur les carrés à 9 nœuds. À moins de faire des grilles mixtes ?