Essai sur la représentation d’un nœud Nn

Rappel : Pour connaître un nœud N1, il faut et il suffit

  • savoir 3 couleurs, celles des deux fils participant au nœud et celle du nœud
  • savoir 1 colonne, celle dans laquelle se trouve le nœud
  • savoir 1 rangée, celle dans lequel se trouve le nœud (le réseau dual de celui que font les rectangles de la grille étant composé de losanges)

Généralisation : Pour connaître un nœud Nn, que faut-il connaître ? il faut et il suffit

  • savoir le nombre de fils porteurs, n € N
  • savoir la nature du nœud, il y en a [4 classiques, 4 Joséphine] à 1 fil porteur, donc 8n possibilités en tout
  • savoir n + 2 couleurs, celles des n + 1 fils participant au nœud et celle du nœud, C+1 possibilités, C étant le nombre de colonnes de bb
  • savoir sa position dans le bb, soit 1 colonne, c € [1 , C = nombre total de fils – 1] dans N et 1 rangée, celle dans lequel se trouve le nœud (le réseau dual de celui que font les rectangles de la grille étant composé de losanges dans le cas classique et de rectangles dans le cas du macramé CAVENDOLI inversé) donc, on avance respectivement par 1/2 nœuds ou par nœuds entiers dans la limite du motif élémentaire. r € N

1° Conclusion : Ce qui fait n + 6 dimensions dans le cas le plus général, chaque dimension étant caractérisée par un nombre entier naturel.

2° Conclusion : Si géométrie il y a, elle n’est plus EUCLIDIENNE mais selon KLEIN.

3° Conclusion : Il y a moyen de représenter lesdits nœuds en s’inspirant de la représentation de l’appareil photographique.

Mais quel est l’intérêt d’un nœud tout seul ?

  1. #1 par elytis le 21 décembre 2008 - 16 h 22 min

    Consider a pseudo-Riemannian manifold (M,g) of signature (p,q),p ≤ q, p + q = n.Assume that there is a strict conformal embeddings : (M,g) → (N,h), with dim(N) = dim(M).Let us define a conformal boundary for (M,g) as ∂sM, thetopological boundary of s(M) in N.When the image s(M) has compact closure in N, we say that(N,h) yields a conformal compactification of (M,g).Three natural questions occure:QuestionDoes there exist a (N,h) (with dim(N) = dim(M)) and a strictconformal embedding s : (M,g) → (N,h)? If not, we say that(M,g) is conformally maximal.QuestionIf such an embedding exists, is there a conformal compactificationfor (M,g)?When a conformal compactification exists, we may ask:QuestionLet s1: (M,g) → (N1,h1) and s2: (M,g) → (N2,h2) be twoconformal compactifications. Are the boundaries ∂s1M and ∂s2Mthe same (from the topological, differentiable, geometricalviewpoint)?A lot of works exist on the subject, mostly in Riemannian andLorentzian signature. :Anderson, Chrusciel, Geroch, Harris, Hawking, Herzlich,Kronheimer, Penrose, Rendal, Schmidt…..Concerning the last question, extra assumptions are generally madeon the image of the embedding, or on the embedding itself. Recall that Einp,q, Einstein’s universe of signature (p,q), is theprojectivization of the lightcone of Rp+1,q+1(i.e Rn+2endowedwith −x21− …. − x2p+1+ x2p+2+ … + x2n+2).Ein0,nis just the standard conformal Riemannian n-sphere Sn.Ein1,n−1is the Lorentzian Einstein’s universe.The conformal group of Einp,qis O(p + 1,q + 1).A Theorem about conformal maximalityTheoremLet Ω be a strict open subset of Einp,q, p + q ≥ 3. LetΓ ⊂ O(p + 1,q + 1) be a discrete subgroup acting freely properlyon Ω. If the action of Γ is free and proper on no open subset of∂Ω, then the Kleinian manifold M = Γ\\Ω is conformally maximal.CorollaryThe following Riemannian manifolds are conformally maximal:Any complete flat Riemannian manifold of dimension ≥ 3,except the euclidean space.Any complete hyperbolic manifold of finite volume, anddimension ≥ 3.The first result is false in Lorentzian signature (Margulisspacetimes).Some examples in Lorentzian signature:ExampleThe group U(1,n) ⊂ O(2,2n) acts properly on the anti-de Sitterspace AdS2n+1. If Γ ⊂ U(1,n) is a lattice, then the anti-de Sittermanifold M = Γ\\AdS2n+1is conformally maximal.ExampleEvery product dS1,n−1× M, where dS1,n−1is the de Sitter spaceof signature (1,n − 1), n ≥ 2, and M is a complete hyperbolicmanifold of finite volume (and dimension ≥ 1) is conformallymaximal.Other examples of conformally maximal Riemannianmanifolds:TheoremLet (M,g) be an homogeneous Riemannian manifold of dimension≥ 3. If it is not conformally flat, it is conformally maximal.TheoremLet (M,g) be a Riemannian manifold of dimension ≥ 3. If (M,g)is not conformally flat, and the isometry group of (M,g) isnoncompact, then (M,g) does not admit any conformalcompactification.Thus, generically, a Riemannian product R × L is not conformallycompactificable.Rigidity at the boundary: the example of euclidean space.Let s : Rn→ (N,h) be a strict conformal embedding of theeuclidean space into an n-dimensional Riemannian manifold(n ≥ 3). Then (N,h) is conformally diffeomorphic to the standardsphere, and the boundary ∂sRnis a point.Rigidity at the boundary: the example of Minkowski space.TheoremLet s : R1,n−1→ (N,h) be a strict conformal embedding of theMinkowski space into an n-dimensional, causaly oriented, compactLorentz manifold (n ≥ 3). Then ∂sR1,n−1is a lightcone.TheoremLet Ω ⊂ Einp,qbe a strict open subset; p + q = n ≥ 3. We assumethat the Hausdorff dimension of ∂Ω is < n − 1. LetΓ ⊂ O(p + 1,q + 1) be a discrete subgroup, and M = Γ\\Ω be aKleinian manifold.If s : M → (N,h) is a conformal embedding (dim(N) = n), thenthere is Ω ⊂ Ω ⊂ Einp,qsuch that Γ acts freely properly on Ω ,and s : Γ\\Ω → (N,h) a conformal diffeomorphism extending s.A corollary:CorollaryLet (L,g) be a complete anti-de-Sitter manifold of dimensionn ≥ 3, and M = L × Sm, m ≥ 1, endowed with the product metric.Let s : M → (N,h) be a strict conformal embedding,dim(N) = n + m. Then:The manifold (N,h) is conformally equivalent to an opensubset of Ein1,n+m−1.Example of differentiable rigidity:TheoremLet (M,g) be a complete pseudo-Riemannian manifold of nonzeroconstant curvature. Let s : (M,g) → (N,h) be a strict conformalembedding. If ∂sM is locally a C0graph, then it is a smoothhypersurface of N (which is moreover conformally flat).

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