Et je me demande

si je n’ai pas trouvé ce que je cherchais le jour où j’ai mis au point mes grilles.

Qu’est-ce que je cherchais ? Comme MENDELEÏEV lorsqu’il a mis au point la Classification Périodique des éléments et prévu l’existence d’éléments dont les corps simples n’avaient pas été isolés de son vivant, comme le savant naturaliste qui a classé les espèces et lancé l’hypothèse d’un chaînon manquant dans l’évolution vers l’homo sapiens, je cherchais un moyen de classer les modèles de bracelets brésiliens (j’en avais alors une centaine) en espérant que celà me permettrait de ne pas faire de doublons et peut-être de prévoir d’autres modèles.

Et j’ai demandé celà aux Mathématiques parce qu’elles me sont un outil naturel, vu ma formation. Et que j’ai lu quelque part (mais où ?) qu’elles avaient "expliqué" les bracelets brésiliens, sans pouvoir trouver ladite explication sur le Web, même en Anglais, même dans des textes dont le niveau me dépasse actuellement.

Une remarque : les pages de WIKIPÉDIA sur lesquelles j’arrive en ce moment en rebondissant sur des mots écrits par ELYTIS sont en demande de mise à jour.

Bref, je voulais simplifier et je me demande si je ne suis pas en train de compliquer.

  1. #1 par elytis le 21 décembre 2008 - 17 h 37 min

    Consider a pseudo-Riemannian manifold (M,g) of signature (p,q),p ≤ q, p + q = n.Assume that there is a strict conformal embeddings : (M,g) → (N,h), with dim(N) = dim(M).Let us define a conformal boundary for (M,g) as ∂sM, thetopological boundary of s(M) in N.When the image s(M) has compact closure in N, we say that(N,h) yields a conformal compactification of (M,g).Three natural questions occure:QuestionDoes there exist a (N,h) (with dim(N) = dim(M)) and a strictconformal embedding s : (M,g) → (N,h)? If not, we say that(M,g) is conformally maximal.QuestionIf such an embedding exists, is there a conformal compactificationfor (M,g)?When a conformal compactification exists, we may ask:QuestionLet s1: (M,g) → (N1,h1) and s2: (M,g) → (N2,h2) be twoconformal compactifications. Are the boundaries ∂s1M and ∂s2Mthe same (from the topological, differentiable, geometricalviewpoint)?A lot of works exist on the subject, mostly in Riemannian andLorentzian signature. :Anderson, Chrusciel, Geroch, Harris, Hawking, Herzlich,Kronheimer, Penrose, Rendal, Schmidt…..Concerning the last question, extra assumptions are generally madeon the image of the embedding, or on the embedding itself.Recall that Einp,q, Einstein’s universe of signature (p,q), is theprojectivization of the lightcone of Rp+1,q+1(i.e Rn+2endowedwith −x21− …. − x2p+1+ x2p+2+ … + x2n+2).Ein0,nis just the standard conformal Riemannian n-sphere Sn.Ein1,n−1is the Lorentzian Einstein’s universe.The conformal group of Einp,qis O(p + 1,q + 1).A Theorem about conformal maximalityTheoremLet Ω be a strict open subset of Einp,q, p + q ≥ 3. LetΓ ⊂ O(p + 1,q + 1) be a discrete subgroup acting freely properlyon Ω. If the action of Γ is free and proper on no open subset of∂Ω, then the Kleinian manifold M = Γ\\Ω is conformally maximal.CorollaryThe following Riemannian manifolds are conformally maximal:Any complete flat Riemannian manifold of dimension ≥ 3,except the euclidean space.Any complete hyperbolic manifold of finite volume, anddimension ≥ 3.The first result is false in Lorentzian signature (Margulisspacetimes).Some examples in Lorentzian signature:ExampleThe group U(1,n) ⊂ O(2,2n) acts properly on the anti-de Sitterspace AdS2n+1. If Γ ⊂ U(1,n) is a lattice, then the anti-de Sittermanifold M = Γ\\AdS2n+1is conformally maximal.ExampleEvery product dS1,n−1× M, where dS1,n−1is the de Sitter spaceof signature (1,n − 1), n ≥ 2, and M is a complete hyperbolicmanifold of finite volume (and dimension ≥ 1) is conformallymaximal.Other examples of conformally maximal Riemannianmanifolds:TheoremLet (M,g) be an homogeneous Riemannian manifold of dimension≥ 3. If it is not conformally flat, it is conformally maximal.TheoremLet (M,g) be a Riemannian manifold of dimension ≥ 3. If (M,g)is not conformally flat, and the isometry group of (M,g) isnoncompact, then (M,g) does not admit any conformalcompactification.Thus, generically, a Riemannian product R × L is not conformallycompactificable.Rigidity at the boundary: the example of euclidean space.Let s : Rn→ (N,h) be a strict conformal embedding of theeuclidean space into an n-dimensional Riemannian manifold(n ≥ 3). Then (N,h) is conformally diffeomorphic to the standardsphere, and the boundary ∂sRnis a point.Rigidity at the boundary: the example of Minkowski space.TheoremLet s : R1,n−1→ (N,h) be a strict conformal embedding of theMinkowski space into an n-dimensional, causaly oriented, compactLorentz manifold (n ≥ 3). Then ∂sR1,n−1is a lightcone.TheoremLet Ω ⊂ Einp,qbe a strict open subset; p + q = n ≥ 3. We assumethat the Hausdorff dimension of ∂Ω is < n − 1. LetΓ ⊂ O(p + 1,q + 1) be a discrete subgroup, and M = Γ\\Ω be aKleinian manifold.If s : M → (N,h) is a conformal embedding (dim(N) = n), thenthere is Ω ⊂ Ω ⊂ Einp,qsuch that Γ acts freely properly on Ω ,and s : Γ\\Ω → (N,h) a conformal diffeomorphism extending s.A corollary:CorollaryLet (L,g) be a complete anti-de-Sitter manifold of dimensionn ≥ 3, and M = L × Sm, m ≥ 1, endowed with the product metric.Let s : M → (N,h) be a strict conformal embedding,dim(N) = n + m. Then:The manifold (N,h) is conformally equivalent to an opensubset of Ein1,n+m−1.Example of differentiable rigidity:TheoremLet (M,g) be a complete pseudo-Riemannian manifold of nonzeroconstant curvature. Let s : (M,g) → (N,h) be a strict conformalembedding. If ∂sM is locally a C0graph, then it is a smoothhypersurface of N (which is moreover conformally flat).

  2. #2 par Monique le 21 décembre 2008 - 16 h 10 min

    Mon problème ?Historique : au départ, j\’ai voulu garder une trace des bracelets (que je donne) pour pouvoir les refaire. Ensuite, leur nombre augmentant, j\’aurais voulu les classer pour m\’y retrouver rapidement. Ensuite, il y a eu le blog sur Spaces qui apporte deux notions de plus : il faut penser aux visiteurs (techniques utilisées, difficultés) et il faut penser à Spaces (possibilités et contraintes). En pratique, • je cherche une représentation du bracelet brésilien. Comme chaque bracelet est périodique, il suffit de s\’intéresser à la partie du bracelet qui se répète : le motif. • mes grilles montrent les trajets des fils comme les graphes de la théorie des tresses sauf au centre des rectangles représentant les nœuds, car là, dans les tresses, il y a des croisements. Elles sont proches de la réalité et peuvent donc être utilisées par tous les visiteurs du site car du trajet des fils et de la couleur des nœuds se déduit intuitivement la manipulation à faire pour réaliser le bracelet correspondant.• pour moi, je pourrais faire des tirages de toutes les mini-fiches et les classer manuellement selon des critères pratiques. Mais il doit y avoir un moyen de faire celà plus élégamment. En Sciences Physiques, celà s\’appelle modéliser. Exemples : les modèles moléculaires à partir de boules et de tiges sont des objets en 3D ; on fait appel aux séries de FOURIER (sur Mathématiques pour la Physique et les physiciens deWalter APPEL Ed° H & K, il est écrit "transformée de FOURIER", tout le vocabulaire a changé depuis mes études universitaires) pour représenter une onde et le modèle est alors un objet mathématique.• je suis partie des graphes de la "théorie des tresses", je crois que la "théorie des nœuds" est hors-sujet. Peut-être faut-il oublier l\’objet réel "tresse" et oser revenir sur les différents nœuds réels en les considérant comme des éléments de tresses pour voir ce qui se passe au centre du rectangle de la grille.Remarques : jusqu\’à maintenant, j\’ai classé uniquement en fonction du nombre total de fils , les agrandissements étaient classés dans chaque album-photo par ordre alphabétique (avant la dernière mise à jour), les noms attribués permettant de s\’y retrouver mais ne correspondant en général à rien de technique. Il y aurait d\’autres critères pratiques : nature des nœuds, nombre de nœuds de nature différent … qui contribuent aussi à donner une idée de la difficulté de l\’ouvrage.Conclusion : ce que je cherche, c\’est un modèle au sens scientifique du terme.

  3. #3 par elytis le 20 décembre 2008 - 15 h 42 min

    Exactement. Mais cette fois c\’ est plus dangereux , plus insidieux , parceque "la promesse" a chaque "marginal" est une substantive participation sociale et pas seulement un espace .Dites mois plus minutieusement ton probleme mathematique.

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